Los árboles y ejes son elementos de máquinas, generalmente de sección transversal circular, usados para sostener piezas que giran solidariamente o entorno a ellos. Algunos elementos que se montan sobre árboles y ejes son ruedas dentadas, poleas, piñones para cadena, acoples y rotores. Los ejes no transmiten potencia y pueden ser giratorios o fijos. Por otro lado, los árboles o flechas son elementos que giran soportando pares de torsión y transmitiendo potencia.
La transmisión de potencia se lleva a cabo mediante árboles, poleas, correas, ruedas dentadas, estrellas y cadenas, entre otros elementos.
Los árboles están sometidos a torsión, flexión, carga axial y fuerzas cortantes, y al menos alguna de estas cargas es variable (en un árbol girando sometido a un momento flector constante, actúan esfuerzos normales variables). Como los esfuerzos en los árboles son combinados y variables, debe aplicarse la teoría de fatiga para esfuerzos combinados.
Usualmente, los árboles son cilindros escalonados (figura 7.4.d), con el fin de que los hombros o resaltos sirvan para ubicar axialmente los diferentes elementos. Además, los hombros sirven para transmitir cargas axiales. En los árboles se usan diferentes elementos para la transmisión de potencia o para posicionar o fijar las piezas que se montan sobre éstos. Algunos métodos utilizados para transmitir pares de torsión y potencia son las cuñas o chavetas (figura 7.4.a), ejes estriados, espigas o pasadores (figura 7.4.c), ajustes a presión, ajustes ahusados(con superficies cónicas) y conectores ranurados. Para evitar movimientos axiales de las piezas se usan, por ejemplo, hombros, tornillos de fijación o prisioneros (figura 7.4.b), anillos de retención (figura 7.4.b), pasadores (figura 7.4.c), collarines de fijación, tornillos (figura 7.4.d) y manguitos (figura 7.4.d). Algunos métodos sirven tanto para fijar axialmente las piezas, como para transmitir par de torsión (por ejemplo, los pasadores). Las chavetas y los pasadores actúan como “fusibles”, es decir, son elementos “débiles” (y de bajo costo) que tienden a fallar en caso de una sobrecarga, protegiendo así las piezas de mayor costo
Esfuerzos cortantes producidos por el par de torsión. Si la sección es circular sólida, los puntos de mayor esfuerzo cortante son los ubicados en la periferia, y dicho esfuerzo está dado por:
Esfuerzos normales por carga axial. El esfuerzo normal, S(F), es constante en toda la sección
y está dado por:
SF=+/- F/A
donde F y A son la fuerza axial y el área transversal, respectivamente, de la sección de análisis. El signo “+” indica que el esfuerzo es de tracción y se toma si F es de tracción; el signo “–” se toma si F es de compresión.
Cuando la carga es de compresión, la ecuación anterior es válida si no existe posibilidad de
pandeo. Si el árbol es “esbelto”, una carga de compresión puede tratar de flexionarlo (pandearlo), produciéndose esfuerzos por carga axial y flexión combinados. Como el esfuerzo máximo en una columna esbelta es mayor que el dado por la ecuación se debe utilizar una ecuación diferente. Faires[1] propone calcular un esfuerzo equivalente, Se(F) (que es diferente al esfuerzo real máximo) para el caso de columnas
donde αP es un coeficiente mayor o igual a la unidad que tiene en cuenta el efecto de pandeo y se calcula de maneras diferentes de acuerdo con el tipo de columna (esbelta, corta, de esbeltez media)
Esfuerzos normales producidos por el momento flector. El esfuerzo normal, S(M), es máximo
en las fibras más alejadas del eje neutro y está dado por:
donde M, c e I son el momento flector, la distancia desde el eje neutro hasta las fibras más alejadas y el momento rectangular de inercia, respectivamente, de la sección de análisis. El signo “+” se toma si el punto analizado está a tracción y el signo “–” si está a compresión. En general, existirán dos valores de c, uno para los puntos a tracción y otro para los puntos a compresión.
El módulo m representa la relación del diámetro de paso con el número de dientes. La unidad de longitud que suele emplearse es el milímetro. El módulo señala el índice del tamaño de los dientes en unidades SI.
El paso diametral P está dado por la relación del número de dientes en el engrane respecto del diámetro de paso. Por lo tanto, es el recíproco del módulo. Debido a que el paso diametral se utiliza sólo con unidades del sistema inglés, se expresa en dientes por pulgada.
La cabeza a se determina por la distancia radial entre la cresta y el círculo de paso. La raíz b equivale a la distancia radial desde el fondo hasta el círculo de paso. La altura, o profundidad total h, es la suma de la cabeza y la raíz.
El círculo del claro es un círculo tangente al círculo de la raíz del engrane acoplado. El claro c está dado por la cantidad por la que la raíz en un engrane dado excede la cabeza de su engrane acoplado. El huelgo se determina mediante la cantidad por la cual el ancho del espacio de un diente excede el grosor o espesor del diente de acoplamiento medido en los círculos de paso.
Análisis de fuerzas: engranes helicoidales
Ejercicios 1,2,3,4...
1_Un piñón recto de 17 dientes con un paso diametral de 8 dientes/pulg funciona a 1 120 rpm e impulsa a otro engrane a una velocidad de 544 rpm. Calcule el número de dientes del segundo engrane y la distancia teórica entre centros.
2_Un piñón recto de 15 dientes con un módulo de 3 mm funciona a una velocidad de 1 600 rpm. El engrane impulsado tiene 60 dientes. Determine la velocidad del engrane impulsado, el paso circular y la distancia teórica entre centros.
3-El árbol escalonado de la figura transmite una potencia de 10 kW a 1200 r/min y está apoyado en dos rodamientos de bolas A y C. La potencia es suministrada por un piñón a la rueda helicoidal B, en el punto de contacto indicado. La potencia sale por la polea D, la cual tiene dos ranuras en “V” (transmisión por correas en “V”). La fuerza en el lado tenso de la correa, F1, es tres veces la del lado flojo, F2. Las componentes de la fuerza de contacto en el engrane B están relacionadas así: Fa = 0.2Ft y Fr = 0.27Ft. Los diámetros primitivos de la rueda y de la polea son DB = 132 mm y DD = 162 mm, respectivamente. El árbol es de acero SAE 1045 laminado en frío.
Determinar: - Torque
- Diagrama de cuerpo libre de pares de torsión y diagrama de par de torsión
- fuerza tangencial
- fuerza axial
- fuerza radial
- F1, F2
- RAy , RAz , RCx , RCy y RCz .
- Diagrama de fuerza cortante en y,z
- Diagrama de momento flector en xy, xz
- diámetro en la sección más cargada en mm
- El diámetro mínimo que debe tener la sección más cargada del árbol (que no necesariamente es la más crítica), para que resista tanto las cargas nominales (al menos unas pocas veces antes de la falla por fatiga) como las cargas pico. usando TECO/von Mises combinadas
Suponer que estas últimas son el doble de las cargas nominales. Usar la TECO/von Mises con un factor de seguridad N = 1.5, tanto para las cargas nominales como para las pico.
Algunos diámetros, en mm, de rodamientos rígidos de bolas son: 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 15, 17, 20, 25, 30, ....;
Sustente sus respuestas
Diagrama de cuerpo libre: Del arbol escalonado del problema 3
Al analizar un árbol, es conveniente hacer diagramas de cuerpo libre para las diferentes solicitaciones, es decir, hacer un diagrama para los pares de torsión, uno para las fuerzas axiales y otros dos para las cargas transversales y momentos flectores que actúan en dos planos perpendiculares.
4_En la figura se muestra un par de engranes helicoidales de doble reducción. El piñón 2 es el impulsor y recibe un par de torsión de 1 200 lbf ⋅ pulg de su eje en el sentido que se muestra. El piñón 2 tiene un paso diametral normal de 8 dientes/pulg, 14 dientes y un ángulo normal de presión de 20° y está cortado a la derecha con un ángulo de la hélice de 30°. El engrane de acoplamiento 3 del eje b cuenta con 36 dientes. El engrane 4, que es el impulsor del segundo par de engranes del tren, presenta un paso diametral normal de 5 dientes/pulg, 15 dientes y un ángulo de presión normal de 20° y está cortado a la izquierda con un ángulo de la hélice de 15°. El engrane acoplado 5 posee 45 dientes. Determine la magnitud y el sentido de la fuerza que ejercen los cojinetes C y D sobre el eje b si el cojinete C sólo soporta carga radial, en tanto que el cojinete D está montado para soportar tanto carga radial como de empuje.
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